Algoritmo di Bolomey e mix ottimo degli aggregati

Studio pubblicato sulla rivista di settore “In Concreto” n. 97 del Febbraio 2010 a firma Gianni Cavallini

Un mix di calcestruzzo ideale deve prevedere nella propria composizione una distribuzione omogenea degli aggregati in funzione delle setacciature così come risultanti dalle prove di laboratorio.

Da un punto di vista grafico, la distribuzione ottimale deve prevedere il massimo riempimento degli spazi tra i singoli granuli, in modo da minimizzare gli spazi vuoti e ridurre il contributo dei leganti necessari al consolidamento del mix; proprio come in un mosaico tridimensionale, nel quale gli spazi tra una tessera e l’altra si riducono al minimo per ottenere il massimo del risultato.

Da un punto di vista puramente matematico, il principio grafico sopra riportato è tradotto in formula da Bolomey come una distribuzione dei passanti ponderati delle quantità ottime determinabili dall’algoritmo di ottimizzazione; tale curva avrà come estremo superiore il valore 100% e come valore inferiore un coefficiente maggiore di 0 e dipendente dalla quantità di legante previsto per il mix e dalla forma più o meno regolare degli aggregati.

Le formule relative alla distribuzione ottimale degli aggregati all’interno del mix sono state definite da Bolomey, il quale ha posto i seguenti vincoli assegnati alle percentuali degli n componenti del mix:

  • La percentuale di ogni aggregato deve essere positiva: x%i ≥ 0     per i = [1,n]
  • La percentuale di ogni aggregato deve essere inferiore al 100%: x%i ≤ 100 per i = [1,n]
  • La somma delle percentuali degli aggregati deve essere 100%: Σi=1,nx%i = 100

Obiettivo dell’ottimizzazione:

  • Lo scarto quadratico tra i passanti della curva ottima di Bolomey (B) ed i passanti della curva dei solidi (S) deve tendere a zero:  Σi=1,n (S%i – B%i)2 –> 0, con:

Si = valore del passante della curva dei solidi al setaccio i-simo

Bi = valore del passante della curva di Bolomey al setaccio i-simo

Esistono numerosi metodi per determinare il valore ottimo dei componenti che riducono lo scarto tra curva ottima e curva reale; essendo la formula da ottimizzare di tipo non lineare, la risoluzione richiede l’impiego di sistemi di risoluzione basati su algoritmi specifici di ricerca operativa che consentono di ottenere rapidamente la combinazione percentuale dei mix migliore che minimizza lo scostamento dalla curva ottima di Bolomey.

Nella pratica di laboratorio, i valori delle percentuali dei componenti ottenuti vengono utilizzati a valore intero, tralasciando quindi gli inevitabili decimali che un algoritmo di ottimizzazione statistico assegna alla combinazione di percentuali ottima. Il motivo di tale arrotondamento al valore intero dipende da diverse considerazioni:

  • Utilizzare valori decimali al posto di valori interi modifica il risultato finale in modo assolutamente trascurabile (nell’esempio della tabella precedente, la soluzione ottima con percentuali a due decimali fornisce uno scarto di 14.88 contro uno scarto di 14.89 ottenuto con la migliore soluzione a valori interi…);
  • Le percentuali di mix convertite in peso evidenziano scostamenti molto ridotti (sempre facendo riferimento alla tabella precedente, il 51.74% della soluzione ottima per la sabbia grossa equivale ad un peso di 899 Kg contro un peso di 903 Kg nel caso di arrotondamento al 52%, cioè solo 4 Kg di differenza su un componente che quota per la metà di tutto l’inerte del mix…);
  • L’errore commesso dal sistema di automazione ed in particolare la risoluzione delle bilance (per gli inerti è in genere 20 Kg, a volte 10 Kg) rendono nella pratica inutile la gestione dei decimali nelle percentuali degli aggregati.

Tenendo presente queste considerazioni, possiamo semplificare il processo di calcolo della soluzione ottima delle percentuali di mix applicando algoritmi semplificati di ottimizzazione (in questo caso di minimizzazione di funzione) basati solo su valori interi.

Con le argomentazioni sopra riportate si è cercato di semplificare l’elaborazione matematica del processo di ottimizzazione del mix design. Ciò nonostante, l’applicabilità delle percentuali ottenute al computer ai mix sperimentali prodotti sul campo è in genere abbastanza limitata; possiamo genericamente affermare che il tecnologo di laboratorio “parte” da un dato matematico ma “adatta” il mix in funzione del risultato ottenuto su base sperimentale.

I fattori che portano a questa discrezionalità sono da ricercarsi in varie cause:

  • La curva matematica di Bolomey non è una curva sperimentale, bensì una curva di tendenza;
  • I passanti possono essere inficiati da residui o alterazioni occasionali dei valori;
  • Il processo produttivo dell’impianto non è in grado di gestire percentuali “farmaceutiche” di materiale;
  • La conformazione irregolare degli aggregati porta ad un inevitabile scostamento dalla curva ideale;
  • La lavorabilità del prodotto deve essere gestita manualmente o con coefficienti sperimentali….

E’ opportuno quindi aprire il ventaglio delle possibili soluzioni analizzando le combinazioni di aggregati nell’intorno della curva ottima. In maniera tale da verificare eventuali combinazioni definibili “sub-ottime” che si discostino dal valore ottimo fino ad un massimo del 5%.


Già guardando questi dati di esempio si può notare che alcune soluzioni che forniscono scarti molto simili (es. 15,18 e 15,28) si discostano sensibilmente nella distribuzione delle percentuali (es. la Ghiaia 15-25 passa da 29% a 33% e la ghiaia 7-15 da 20% a 17%).

Se processiamo quindi tutte le possibili combinazioni percentuali e ci limitiamo a considerare quelle comprese tra il valore di scarto ottimo (in questo caso 14,89) e il valore di scarto 15,63 (14,89 + 5%), otteniamo un insieme di valori valori percentuali con oscillazioni minime e massime sintetizzate nella tabella seguente:

Si badi bene questo esempio: le ricette che hanno scostamenti massimi del 5% sullo scarto ottimale oscillano tra valori in Kg compresi tra i 100-200 Kg; il che significa che se io commettessi un errore di pesata di 200 Kg sulla sabbia, sarei in grado di individuare almeno un altro mix comunque ottimale modificando opportunamente le percentuali di ghiaia in funzione del prospetto sopra indicato, e che mi garantirebbe comunque un prodotto ottimale.

Ecco un esempio della distribuzione dei granuli di inerte sul fuso granulometrico di Bolomey in funzione di scarti quadratici nell’intorno del 5% dello scarto ottimo:

Come si può facilmente dedurre, ammettendo uno scostamento dal valore ottimo di un 5% (quindi ammettendo tutte le soluzioni con scarto compreso tra 14,89 e 15,63) risulta che i componenti inerti di un mix ottenuto da un fascio di curve ottime possono oscillare da un minimo di circa 20 Kg/mc ad un massimo di circa 150 Kg/mc.

Sulla base di quanto evidenziato anche nel grafico precedente, si può quindi ampiamente giustificare la prassi tecnologica di verificare e correggere il mix prodotto al computer con valori percentuali anche sensibilmente diversi; in realtà è la stessa analisi delle curve ottime e sub-ottime a suggerire di verificare possibili alternative in un ventaglio di soluzioni matematiche ammissibili.

Cosa serve a dimostrare uno studio del genere?

  1. Una minima variabilità delle setacciature degli aggregati può provocare notevoli differenze di risultato; e poiché la variabilità degli aggregati è molto frequente nel settore, non sempre il risultato in produzione è quello atteso.
  2. E’ possibile correggere gli errori di pesata in modalità dinamica durante la stessa fase di carico, cercando una distribuzione sub-ottima che si avvicini come scarto quadratico medio alla curva ottima di Bolomey (e quindi al miglior risultato ottenibile dal punto di vista tecnologico), e quindi variando il dosaggio dei componenti inerti ancora da pesare; questo lo si potrebbe già fare su tutti i mix non contrattuali, mentre per quelli contrattuali potrebbe essere definita una griglia di valori minimi e massimi entro cui variare la composizione degli aggregati nel calcestruzzo.
  3. Consentire ai tecnologi in fase di progettazione di mix design di disporre di un set di curve ottime e sub-ottime da sperimentare per ottenere il miglior risultato possibile dal punto di vista dell’impasto finale. Questa prassi, oggi totalmente empirica e lasciata all’esperienza di ogni “scienziato” aziendale che la tramanda di generazione in generazione, potrebbe essere spiegabile matematicamente da questo studio, e come tale essere verificata nella pratica di laboratorio, riducendo le possibilità di test a quelle effettivamente utili alla definizione di un prodotto accettabile sia dal punto di vista teorico sia dal punto di vista produttivo.

Forse avrei ancora molto da dare da questo punto di vista al settore del calcestruzzo, ma ormai credo che sia impossibile poter continuare in questo ambito, dopo le assurde accuse – confermate o no – che mi hanno distrutto comunque la reputazione. Ai miei successori auguro buona fortuna. E piedi di calcestruzzo.

 

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